Статья для математиков: проясняем одно заблуждение

Эту статью написать меня заставило одно обстоятельство: я наткнулся на этой площадке вот на этот материал: Подробнее ➤ , в котором приводится математический пример 12: 2 (3-1)/3 с предложением посчитать, каков должен получиться результат. Помня, как нас учили в советское время считать выражения со скобками, я быстро пришел к результату, что должна быть единица. Потому что я отлично помню, что нас учили, что в первую очередь вычисляется умножение, следом деление, и потом только суммирование и вычитание. Поэтому, расчет мой был прямой как лом: поскольку в скобках у нас результат 2, то на него я умножил двойку, стоящую перед скобками, получив таким образом четверку, Поделив 12 на этот результат, я получил в числителе тройку, что вкупе с тройкой в знаменателе и дало искомое значение единицу.

Каково же было мое удивление, что этот материал вызвал шквал комментариев, почти под полторы тысячи. Углубившись в комментарии, я с не меньшим удивлением узнал, что считать надо по другому, а именно последовательно слева направо. И результат будет 12:2 (первое действие), умноженное на 3-1 (второе действие), что дает нам 12 в числителе, а после деления на тройку в знаменателе (третье действие) итог получается четверка.

Я немного офигел. Выясняется, что никакого преимущества умножение перед делением нет?! И все, чему меня учили на уроках математики — ложь? Знаете, это был удар по всем моим устоям. Наверное, такой же шок испытывает человек, воспитанный в духе шарообразности Земли, когда ему начинают приводить веские и обоснованные аргументы, что Земля плоская. Такое надо сначала переварить. А для этого надо углубиться в тему и начать разбираться с самых азов. Вот я и начал разбираться. И выяснил, что действительно, есть такое правило в арифметике, что порядок математических операций действительно происходит слева направо, а умножение не имеет никаких преимуществ перед делением. Правда, тут есть нюанс: умножение/деление имеют приоритет перед сложением/вычитанием и должны вычисляться в первую очередь. Все это мне пришлось заново вспоминать, поскольку арифметику я проходил в начальных классах и уже все забыл. Однако, то, чего мы проходили на уроках алгебры более сорока лет назад, я кое-что все же помнил. И я отлично помню, как мы решали выражения со скобками. И порядок был неизменно такой: сначала решаются значения в скобках, а то, что стоит перед скобками, потом умножается на полученный результат. Это без вариантов, потому что я за решение этих примеров пятерку в школе получал. И вот теперь такой пердимонокль…

Что-то тут не то. Не может быть такого, чтобы в точной науке математике было, чтобы было два решения одной задачи, и оба были верными. Что-то одно должно быть ложным — как ни крути. И я нашел, в чем тонкость, которая ломает нам всем голову и вызывает нешуточные споры. Проблема в том, что выражение 12: 2 (3-1), которая находится в числителе, это выражение отнюдь не арифметическое, а самое что ни на есть алгебраическое. И доказательством этого является факт отсутствия между двойкой и (3-1) знака умножения. Дело в том, что в арифметике все знаки должны прописываться, и отсутствия знака умножения приводит к некорректному написанию. Но в алгебре как раз знак умножения опускается, и это принципиальный момент. Таким образом показывается именно приоритет умножения перед делением, и это как раз алгебраическое правило, а отнюдь не арифметическое. Люди, которые доказывают, что умножение и деление равнозначны, исходят из правил арифметики, не понимая, что на самом деле они решают алгебраическую задачу, поэтому они и делают принципиальную ошибку. В алгебре, как говорится, «своя атмосфера». Поэтому я оказался прав в своих воспоминаниях о приоритете умножения перед делением: просто это алгебра, а не арифметика. Вот так все просто.

Чтобы не быть голословным, приведу доказательство из учебника, что в алгебре умножение приоритетнее деления:

Тем, кто еще не понял, разъясняю то, что здесь написано:

1. Фраза «Знак умножения связывает компоненты действия сильнее, чем знак деления» и означает приоритет умножения над делением. В нашем примере число 2 и то, что в скобках (3-1), это и есть компоненты действия, поэтому они составляют единое целое, которое по определению нельзя разъединять. По сути, это просто число 4, разложенное по правилам вынесения за скобки. Скажем, мы число 4 преобразовали в выражение в (6-2), то есть (4+2-2), и из этого выражение вынесли за скобки двойку, после чего в скобках все значения уменьшились наполовину, после чего выражение и приняло знакомый уже нам вид как 2 (3-1). По-математически правило вынесения за скобки выглядит это так:

А вот как в алгебре следует раскрывать скобки:

Таким образом тот, кто понимает правило вынесения за скобки, ему никогда не придет в голову разъединять двойку и выражение в скобках, поскольку это множители единой операции, причем двойка является общим множителем для всех значений в скобках. Но приверженцы арифметических действий, не понимая сути происходящего момента, ничтоже сумняшеся, это единое и неделимое выражение разделяют, определяя одну только двойку как делитель, в то время, как делителем является все это выражение 2 (3-1), и никак иначе!

2). Далее мы видим, что именно потому, что умножение является приоритетным, в алгебре знак умножения опускается. Именно по этой причине знак * или х (кто где как пишет), опускается. И не по какой-то прихоти, а чтобы показать, что расчеты ведутся по правилам алгебры, а совсем не арифметики. Опускание знака умножения, это некий маркер, который нельзя игнорировать.

3) Обращаю ваше внимание на приведенный в формулировке из учебника пример а: в*с Это совсем не означает, что сначала а делится на в, а потом умножается на с. Здесь вам не арифметика, здесь вам алгебра! Поэтому на самом деле операция происходит по алгебраическим законам, а именно: а : (в *с), что в записи выглядит как а : вс (знак умножения опущен), или, если угодно, а/вс. Таким образом мы и видим именно из примера а: в*с , откуда вытекает правило приоритета умножения перед делением: сначала в умножается на с, а потом уже на полученный результат (делитель) делится делимое а. Память меня не обманула!

Резюмируем. В выражении 12/2 (3-1) Делимое, это 12, а делитель — выражение 2 (3-1), потому что оно единое и неделимое (такой вот каламбур). Соответственно расчет становится простым и понятным:

1) 2 (3-1) по правилам раскрытия скобок раскрывается как (2*3-2*1), что дает в сумме 6-2= 4.

2) 12:4 дает тройку. Это и есть результат в числителе из взятого примера. И поскольку в знаменателе у нас стоит тоже тройка, то в конечном итоге и получается ответ единица. Кода! Четверка, высчитываемая по арифметическим правилам, это результат заблуждения.

Я не просто так вам все это так скрупулезно расписываю. Важно понимать разницу между арифметическим умножением и алгебраическим, потому что в арифметике а*в, это умножение двух разных чисел или переменных, а в алгебре это два компонента, связанных в единое неразделимое целое. Ну, могу привести в пример СССР, в котором 15 республик хотя и были как бы сами по себе, но являлись единым целым между собой. Это и есть алгебра. После того, как Союз распался, все республики стали на самом деле сами по себе и уже не являются единым целым — и это как раз арифметика. Надеюсь, аналогия понятна.

Напоследок еще один забавный примерчик, наглядно показывающий разницу между алгебраическим счислением и арифметическим: 10а/10в

Вот давайте и посчитаем.

10а/10в после сокращения десятки по правилам алгебры дает а/в

В случае арифметического расчета начинаем рассчитывать последовательно: 10 * а : 10 * в

1)10*а:10 = а

2) а * в = а * в

Занавес!

В одном случае значения делятся, в другом умножаются. Забавно, не правда ли? Именно поэтому очень важно понимать, по каким правилам следует производить расчет.

Надеюсь, я раскрыл тему, чтобы больше не было недоразумений. Правильный ответ в выражении 12: 2 (3-1)/3 будет ЕДИНИЦА!

Источник